富商晚年患柏金遜症，臨終前要將一箱金幣分給五個兒子和一個管家。
他叫來長子，要他將金幣平分五份。長子回覆平分五份後剩下一個金幣，富商叫長子先將這個金幣送給管家，然後要他將餘下的 4／5 放回箱中，長子可馬上拿走他的一份。
長子拿走金幣後，患柏金遜症的富商忘記了已分給長子和管家之事。他叫來次子，要他將金幣平分五份。次子回覆平分五份後剩下一個金幣，富商叫次子先將這個金幣送給管家，然後要他將餘下的 4／5 放回箱中，次子可馬上拿走他的一份。
次子拿走金幣後，患柏金遜症的富商忘記已分了給長子、次子和管家之事。如此這般，富商逐一叫來餘下三子，巧合地每次平分五份後都剩一個金幣歸管家所有。翌日，富商離世，五子聚首一堂，發然箱內仍有金幣。管家宣讀富商遺囑，依然是將箱內金幣平分五份，餘數給管家，然後五子各取一份。這次管家所得，又是一個金幣，結果管家先後得了共六個金幣。
問：箱內原來最少有多少個金幣？
答：15621
回覆刪除解：
分產過程如下：
長子平分五份，15621 = 1 + 3124x5，給了 1 個管家，自取 3124 後剩 3124x4 = 12496。
次子平分五份，12496 = 1 + 2499x5，給了 1 個管家，自取 2499 後剩 2499x4 = 9996。
三子平分五份，9996 = 1 + 1999x5，給了 1 個管家，自取 1999 後剩 1999x4 = 7996。
四子平分五份，7996 = 1 + 1599x5，給了 1 個管家，自取 1599 後剩 1599x4 = 6396。
五子平分五份，6396 = 1 + 1279x5，給了 1 個管家，自取 1279 後剩 1279x4 = 5116。
富商死後，
大家再分一次，5116 = 1 + 1023x5，給了 1 個管家，各再取 1023。
若不設最少正數的要求，15621+5x5x5x5x5x5 也是答案。
在這情況下，其實有無限個答案如下：
15621，31246，46871，62496，78121，93746，109371......
可寫成公式：
15621+N（5^6)
N 是自然數。
求取這個問題的答案有一捷徑，就是明知答案是正數卻向負數方向想。若能找到一個負數能符合問題的條件，那將這個負數加（5^6）便是可能的正數答案。
回覆刪除從 0 倒數，第一個整數減一後（分了一個金幣給管家）可被五整除的是 -4。我們可以這樣理解，長子分了一個金幣給管家後，箱內的總數是 -5，平分五份，每份是 -1，長子應從箱中取走 -1 個金幣，亦即放 1 個金幣到箱中，結果長子完成首輪分產後，箱內仍有金幣 -4 個。如此類推，分產五次後，箱內仍有金幣 -4 個。-4 便是可能的答案，將 -4 +（5^6) 得 15621。
若你不喜歡以上捷徑，便要依以下方式求出 15621。
回覆刪除假設 A B C D E F G 是分金前後箱中金幣之總數，A 是開始時的數目，G 是富商死後，管家拿了 1 個金幣，其中一子拿了他的一份後餘下之數。
B = A - 1 - ( A - 1 ) / 5 = (4/5) x ( A - 1 )
C = B - 1 - ( B - 1 ) / 5 = (4/5) x ( B - 1 )
D = C - 1 - ( C - 1 ) / 5 = (4/5) x ( C - 1 )
E = D - 1 - ( D - 1 ) / 5 = (4/5) x ( D - 1 )
F = E - 1 - ( E - 1 ) / 5 = (4/5) x ( E - 1 )
G = F - 1 - ( F - 1 ) / 5 = (4/5) x ( F - 1 )
可化為 M x v' = c'
v = [ A B C D E F G ]
c = [ 4 4 4 4 4 4 ]
M =
[ 4 -5 0 0 0 0 0 ]
[ 0 4 -5 0 0 0 0 ]
[ 0 0 4 -5 0 0 0 ]
[ 0 0 0 4 -5 0 0 ]
[ 0 0 0 0 4 -5 0 ]
[ 0 0 0 0 0 4 -5 ]
利用線性代數方法求解，可簡約出 A G 的直接關係
4096 * A - 15625 * G = 46116
利用丟番圖方程，可得出
4096 * 14431 - 15625 * 3783 = 1
乘以 46116 得
A = 14431 * 46116 = 665499996
G = 3783 * 46116 = 174456828
如上所述，665499996 是無限多答應中的其中一個，要找出最小的正整數答案，可把 665499996 - 42591x(5^6) = 15621。